ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC

     
TÓM TẮT LÍ THUYẾTĐịnh lí và chứng tỏ định lí:Trong Toán học, định lí là 1 mệnh đề đúng. Nhiều định lí được vạc biểu dưới dạng: <""forall xin X,P(x)Rightarrow Q(x)"">, P(x), Q(x) là những mệnh đề đựng biếnCó 2 phương pháp để chứng minh định lí dưới dạng trên

Cách 1: chứng tỏ trực tiếp gồm các bước sau:

Lấy x X ngẫu nhiên mà P(x) đúng.Chứng minh Q(x) đúng bởi suy luận và kỹ năng và kiến thức Toán học đã biết.

Bạn đang xem: áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học

Cách 2: chứng minh bằng bội nghịch định lí gồm các bước sau:

Giả sử lâu dài sao mang lại P(x0) và đúng là Q(x0) sai dùng suy luận và những kiến thức toán học nhằm đi cho mâu thuẫn.Định lí đảo, đk cần, điều kiện đủ, điều kiện cần với đủ:Cho định lí bên dưới dạng <""forall xin X,P(x)Rightarrow Q(x)""> (1). Lúc đó

P(x) là điều kiện đầy đủ  để có Q(x)

Q(x) là điều khiếu nại cần đề bao gồm P(x)

Mệnh đề <""forall xin X,Q(x)Rightarrow P(x)""> đúng thì được điện thoại tư vấn là định lí đảo của định lí dạng (1)

Lúc kia (1) được call là định lí thuận với khi đó rất có thể gộp lại thành một định lí <""forall xin X,Q(x)Leftrightarrow P(x)"">, ta gọi là P(x) là điều kiện yêu cầu và đủ để sở hữu Q(x).

Ngoài ra còn nói “P(x) nếu và chỉ còn nếu Q(x)”, “P(x) khi còn chỉ khi Q(x)”.

CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG

& 1. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: minh chứng rằng với tất cả số tự nhiên n, n3 chia hết cho 3 thì n phân chia hết mang đến 3

Lời giải

Giả sử n không phân tách hết mang đến 3 khi đó n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2, k

Với n = 3k + 1 ta có n3 = (3k +1)3 = 27k3 + 27k2 + 9k + 1 không phân chia hết mang đến 3 (mâu thuẫn)

Với n = 3k + 2 ta có n3 = (3k +2)3 = 27k3 + 54k2 + 36k + 4không phân tách hết đến 3 (mâu thuẫn)

Vậy n phân tách hết cho 3.

Ví dụ 2: Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c, a< e >0. Chứng tỏ rằng trường hợp tồn trên số thực sao đến a.f() ≤ 0 thì phương trình f(x) = 0 luôn luôn có nghiệm.

Lời giải

Ta có .

Giả sử phương trình đã đến vô nghiệm, tức là Δ

Khi kia t có 0,forall xin mathbbR>

Suy ra ko tồn tại sao mang đến a.f() ≤ 0, trái với trả thiết.

Vậy điều ta đưa sử sống trên là sai, tốt phương trình đang cho luôn có nghiệm.

Ví dụ 3: chứng tỏ rằng một tam giác bao gồm đường trung tuyến đường vừa là phân giác xuất phản từ 1 đỉnh là tam giác cân tại đỉnh đó.

 

Lời giải

Giả sử tam giác ABC gồm AH vừa là đường trung tuyến vừa là con đường phân giác cùng không cân nặng tại A.

Không mất tính bao quát xem như AC > AB

*
Trên AC lấy D làm thế nào cho AB = AD.

Gọi L là giao điểm của BD cùng AH.

Khi kia AB = AD, và AL chung yêu cầu ΔABL = ΔADL

Do đó AL = LD xuất xắc L là trung điểm của BD

Suy ra LH là đường trung bình của ΔCBD

LH//DC điều này mâu thuẫn vì LH, DC giảm nhau trên A

Vậy tam giác ABC cân nặng tại A.

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

& 2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1.12: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng: trường hợp phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm thì a và c cùng dấu.

Hướng dẫn giải

Giả sử phương trình vô nghiệm cùng a, c trái lốt . Với điều kiện a, c trái vệt ta gồm a.c 2 – 4ac = b2 + 4(-ac) > 0

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều này xích míc với giả thiết phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm thì a, c yêu cầu cùng dấu.

Bài 1.13: Chứng minh bằng cách thức phản chứng: nếu hai số nguyên dương gồm tổng bình phương phân tách hết mang đến 3 thì cả nhị số đó đề xuất chia hết đến 3.

Hướng dẫn giải

Giả sử trong hai số nguyên dương a và b bao gồm ít nhất một vài không chia hết cho 3, chẳng hạn a không chia hết cho 3. Núm thì a tất cả dạng a = 3k + 1 hoặc a = 3k + 2. Cơ hội đó a2 = 3m + 2, cần nếu b phân chia hết cho 3 hoặc b không phân tách hết cho 3 thì a2 + b2 cũng có dạng 3n + 1 hoặc 3n + 2, có nghĩa là a2 + b2 không phân tách hết mang lại 3, trái giả thiết. Vậy trường hợp a2 + b2 chia hết mang lại 3 thì cả a cùng b các chia hết đến 3.

Bài 1.14: Chứng minh rằng: trường hợp độ dài những cạnh của tam giác thỏa mãn nhu cầu bất đẳng thức a2 + b2 > 5c2 thì c là dộ nhiều năm cạnh nhỏ dại nhất của tam giác.

Hướng dẫn giải

Giả sử c chưa phải là cạnh nhỏ dại nhất của tam giác.

Không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ c a2 ≤ c2 (1)

Theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có, b 2 2 (2).

Do a ≤ c ( a +c)2 ≤ 4c2 (3)

Từ (2) cùng (3) suy ra b2 ≤ 4c2  (4)

Cộng vế với vế (1) và (4) ta tất cả a2 + b2 ≤ 5c2 mâu thuẫn với đưa thiết

Vậy c là cạnh nhỏ nhất của tam giác.

Bài 1.15:  Cho a, b, c dương bé dại hơn 1. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau không nên frac14>, frac14>,frac14>

Hướng dẫn giải

Giả sử cả cha bất đẳng thức hầu hết đúng.

Khi đó, nhân vế theo vế của những bất đẳng thức bên trên ta được:

left( frac14 ight)^3>hay frac164>(*)

Mặt khác

Do 0

Tương trường đoản cú thì

Nhân vế theo vế ta được (**)

Bất đẳng thức (**) xích míc với (*)

Vậy bao gồm ít nhất một trong ba bất đẳng thức đã cho rằng sai. (đpcm)

Bài 1.16: Nếu a1a1 ≥ 2 (b1 + b2) thì không nhiều nhất 1 trong những hai phương trình x2 + a1x + b1 = 0, x2 + a2x + b2 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Giả sử cả nhị phương trình bên trên vô nghiệm

Khi đó D­1 = a12 – 4b1 2 = a22 – 4b2

a12 – 4b1 + a22 – 4b2 12 + a22 1 + b2) (1)

Mà (a1 + a2)2 ≥ 0 a12 + a22 ≥ 2a1a2 (2)

Từ (1) cùng (2) suy ra 2a1a2 1 + b2) hay a1a2 1 + b2) trái giả thiết

Vậy phải tất cả ít nhất 1 trong các hai sô Δ1, Δ2 lớn hơn 0 do đó ít nhất một trong những 2 phương trình x2 + a1x + b1 = 0, x2 + a2x + b2 = 0 tất cả nghiệm.

Bài 1.17: Chứng minh rằng là số vô tỉ.

Hướng dẫn giải

Dễ dàng chứng tỏ được nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.

Giả sử là số hữu tỉ, tức là , trong số ấy m, n , (m, n) = 1

Từ m2 = 2n2m2 là số chẵn

m là số chẵn m = 2k, k

Từ m2 = 2n24k2 = 2n2 n2 = 2k2n2 là số chẵn n là số chẵn

Do kia m chẵn, n chẵn xích míc với (m, n) = 1.

Vậy là số vô tỉ.

Bài 1.18: Cho những số a, b, c vừa lòng các điều kiện: 

a+b+c>0(1)

ab+bc+ca>0(2)

abc>0(3) 

Chứng minh rằng cả tía số a, b, c đầy đủ dương.

Hướng dẫn giải

Giả sử cả cha số a, b, c không bên cạnh đó là số dương. Vậy bao gồm ít nhất một số trong những không dương.

Do a, b, c tất cả vai trò bình đẳng yêu cầu ta hoàn toàn có thể giả sử a: ≤ 0

+ giả dụ a = 0 xích míc với (3)

+ ví như a

Ta gồm (2) a(b +c) > -bc a(b +c) > 0

b + c

Vậy cả ba số a, b, c hầu hết dương.

Xem thêm: Đặc Tính Thứ Bậc Của Thế Giới Sống Là, Đặc Tính Nổi Bật Của Các Cấp Tổ Chức Sống Là Gì

Bài 1.19: Chứng minh bằng phản triệu chứng định lí sau: “Nếu tam giác ABC có những đường phân giác vào BE, CF cân nhau thì tam giác ABC cân”.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác BCE với CBF, ta thấy:

BC chung, BE = CF, BF > CE yêu cầu widehatB_1Rightarrow widehatC>widehatB>. Mâu thuẫn

Trường thích hợp widehatB>, chứng tỏ hoàn toàn giống như như trên.

Do đó . Vậy tam giác ABC cân nặng tại A.

*

 

Bài 1.20: Cho 7 đoạn thẳng có độ dài to hơn 10 và nhỏ tuổi hơn 100. Chứng minh rằng luôn tìm được 3 đoạn để có thể ghép thành một tam giác.

Hướng dẫn giải

Trước hết chuẩn bị xếp các đoạn đã mang đến theo lắp thêm tự tăng dần của độ dài a1, a2,…,a7 và chứng minh rằng trong dãy đã sắp xếp luôn tìm kiếm được 3 đoạn liên tiếp thế nào cho tổng của 2 đoạn đầu hớn rộng đoạn cuối (vì đk để 3 đoạn có thể ghép thành một tam giác là tổng của hai đoạn lớn hơn đoạn sản phẩm 3).

Giả sử điều kiện cần chứng tỏ là ko xảy ra, nghĩa là bên cạnh đó xảy ra các bất đẳng thức sau: a1 + a2 ≤ a3; a2 + a3 ≤ a4;…; a5 + a6 ≤ a7.

Từ đưa thiết a1, a2 có mức giá trị to hơn 10, ta cảm nhận a3 > 20. Trường đoản cú a2 >10 cùng a3 > đôi mươi ta nhận thấy a4  >30, a5 > 50, a6  > 80 cùng a7 > 130. Điều a7 > 130 là xích míc với trả thiết những độ dài bé dại hơn 100. Có xích míc này là do giả sử điều cần chứng tỏ không xảy ra.

Vậy, luôn luôn tồn tại 3 đoạn liên tiếp làm sao để cho tổng của 2 đoạn đầu hớn rộng đoạn cuối. Hay có thể nói là 3 đoạn này có thể ghép thành một tam giác.

DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG THUẬT TOÁN ĐIỀU KIỆN CẦN, ĐIỀU KIỆN ĐỦ, ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ

& 1. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho định lí: “Cho số thoải mái và tự nhiên n, trường hợp n5 phân tách hết cho 5 thì n phân tách hết mang đến 5”. Định lí này được viết theo dạng p. Q.

Hãy xác định các mệnh đề p và Q.Phát biểu định lí trên bằng cách dung thuật ngữ “điều khiếu nại cần”.Phát biểu định lí trên bằng phương pháp dung thuật ngữ “điều khiếu nại đủ”.Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) của định lí bên trên rồi dung những thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” nhằm gộp cả nhị định lí thuận cùng đảo.

Lời giải

P: “n là số từ bỏ nhiên, n5 chia hết mang lại 5”, Q: “n chia hết mang đến 5”.Với n là số tự nhiên, n phân tách hết mang đến 5 là điều kiện cần đề n5 chia hết mang đến 5; hoặc phạt biểu các khác : cùng với n là số từ nhiên, điều kiện cần đề n5 phân tách hết cho 5 là n phân chia hết mang lại 5.Với n là số trường đoản cú nhiên, n5 phân chia hết mang đến 5 là đk đủ nhằm n phân chia hết mang lại 5.Định lí đảo: “Cho số tự nhiên n, giả dụ n phân tách hết đến 5 thì n5 phân chia hết mang đến 5”.Thật vậy trường hợp n = 5k thì n5 = 55.k5: số này chia hết mang lại 5.

Điều kiện đề nghị và đầy đủ để n chia hết mang đến 5 là n5 chia hết mang lại 5.

Ví dụ 2: Phát biểu các mệnh đề sau cùng với thuật ngữ “Điều khiếu nại cần”, “Điều khiếu nại đủ”

Nếu nhì tam giác cân nhau thì chúng có diện tích s bằng nhauNếu số nguyên dương phân tách hết cho 6 thì phân tách hết mang đến 3Nếu hình thang tất cả hai đường chéo cánh bằng nhau thì nó là hình thang cânNếu tam giác ABC vuông tại A cùng AH là đường cao thì AB2 = BC.AH

Lời giải

Hai tam giác cân nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau

Hai tam giác có diện tích s bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau.

Số nguyên dương chia hết đến 6 là điều kiện đủ để nó chia hết cho 3

Số nguyên dương chia hết mang lại 3 là điều kiện cần nhằm nó chia hết đến 6

Hình thang có hai đường chéo cánh bằng nhau là điều kiện đủ nhằm nó là hình thang cân

Hình thang cân nặng là đk cần nhằm nó bao gồm hai đường chéo cánh bằng nhau

Tam giác ABC vuông tại A với AH là con đường cao là điều kiện đủ nhằm AB2 = BC.AH

Tam giác ABC bao gồm AB2 = BC.AH là đk cần nhằm nó vuông trên A với AH là con đường cao.

& 2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1.21: Phát biểu các định lí sau đây bằng phương pháp sử dụng có mang “Điều kiện cần” và “Điều kiện đủ”

Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng thuộc vuông góc với mặt đường thẳng sản phẩm 3 thì hai đường thẳng đó tuy vậy song với nhau.Nếu số nguyên dương bao gồm chữ số tận thuộc là 5 thì chia hết mang lại 5.Nếu tứ giác là hình thoi thì nhị đường chéo vuông góc với nhau.Nếu hai tam giác bằng nhau thì bọn chúng có những góc khớp ứng bằng nhau.Nếu số nguyên dương a phân chia hết cho 24 thì phân chia hết đến 4 với 6.

Hướng dẫn giải

Trong phương diện phẳng, hai tuyến đường thẳng thuộc vuông góc với con đường thẳng trang bị 3 là đk đủ để hai tuyến đường thẳng đó tuy nhiên song với nhau

Trong khía cạnh phẳng, hai tuyến đường thẳng tuy nhiên song cùng nhau là điều kiện cần để hai đường thẳng đó cùng vuông góc với đường thẳng lắp thêm 3.

Số nguyên dương có chữ số tận cùng là 5 là điều kiện đủ để chia hết cho 5.

Số nguyên dương phân tách hết mang lại 5 là điều kiện cần để sở hữu chữ số tận thuộc là 5.

Tứ giác là hình thoi là đk đủ để hai đường chéo cánh vuông góc với nhau.

Tứ giác bao gồm hai đường chéo cánh vuông góc cùng nhau là điều kiện cần nhằm nó là hình thoi.

Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để bọn chúng có những góc tương ứng bằng nhau.

Hai tam giác có những góc tương ứng bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau.

Số nguyên dương a phân chia hết cho 24 là điều kiện đủ để nó phân chia hết đến 4 với 6.

Số nguyên dương a phân tách hết mang đến 4 với 6 là đk cần để nó chia hết mang đến 24.

Bài 1.22: Dùng thuật ngữ điều kiện cần cùng đủ để phát biểu những thuật ngữ sau

Một tam giác là tam giác cân, nếu còn chỉ nếu nó gồm hai góc bởi nhauTứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi tứ giác gồm hai đường chéo cánh cắt nhau trên trung điểm của mỗi đường.xge sqrt<3>y>Tứ giác MNPQ là hình bình hành khi còn chỉ khi .

Hướng dẫn giải

Một tam giác là tam giác cân nặng là đk cần cùng đủ nhằm nó bao gồm hai góc bằng nhauTứ giác là hình bình hành là điều kiện cần với đủ để tứ giác bao gồm hai đường chéo cắt nhau trên trung điểm của từng đường.là đk cần và đủ để xge sqrt<3>y>Điều kiện yêu cầu và đủ để tứ giác MNPQ là hình bình hành là .

Bài 1.23: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí sau:

“Nếu một tứ giác là hình vuông thì nó có bốn cạnh bằng nhau”.

Có định lí đảo của định lí trên không, vị sao?

“Nếu một tứ giác là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc”

Có định lí đảo của định lí bên trên không, bởi sao?

Hướng dẫn giải

Một tứ giác là hình vuông là đk đủ nhằm nó bao gồm 4 cạnh bởi nhau.

Một tứ giác có 4 cạnh đều bằng nhau là đk cần nhằm nó là hình vuông.

Không có định lí hòn đảo vì tứ giác gồm 4 cạnh bởi nhau hoàn toàn có thể là hình thoi.

Một tứ giác là hình thoi là đk đủ để nó có hai đường chéo vuông góc

Một tứ giác tất cả hai đường chéo cánh vuông góc là đk cần để nó là hình thoi.

Xem thêm: De Tài Tranh Phong Cảnh Lớp 7 Đơn Giản Đẹp Như Hoạ Sĩ, Vẽ Tranh Đề Tài Phong Cảnh Lớp 7

Không bao gồm định lí đảo vì một tứ giác bao gồm hai đường chéo cánh vuông góc có thể là hình vuông hoặc một đa giác bất kỳ có nhị đường chéo cánh vuông góc.